Binomo opciono kainodaros modelio supratimas

Akcijų kainų nustatymas

Susitarti dėl tikslios bet kokio parduodamo turto kainos yra sudėtinga - štai kodėl akcijų kainos nuolat keičiasi. Realybėje įmonės vargu ar keičia savo vertes kiekvieną dieną, tačiau jų akcijų kainos ir vertinimas keičiasi beveik kas sekundę. Dėl to, kad sunku susitarti dėl teisingo bet kurio parduodamo turto įkainojimo, atsiranda trumpalaikės arbitražo galimybės.

Tačiau daug sėkmingai investuojančių klausimų kyla dėl paprasčiausio šių dienų įvertinimo - kokia yra teisinga dabartinė kaina laukiamam būsimam išmokėjimui ateityje?

„Binominal“ parinkčių įvertinimas

Konkurencingoje rinkoje, kad būtų išvengta arbitražo galimybių, turtas, turintis identiškas išmokėjimo struktūras, turi būti vienodos kainos. Pasirinkimo galimybių vertinimas buvo sudėtingas uždavinys, o kainų pokyčiai lemia arbitražo galimybes. „Black-Scholes“ išlieka vienas iš populiariausių modelių, naudojamų nustatant kainodaros galimybes, tačiau turi apribojimų.

Dviejų dalių opcionų kainodaros modelis yra dar vienas populiarus metodas, naudojamas kainų nustatymui.

Pavyzdžiai

Tarkime, kad tam tikroje akcijoje yra pirkimo pasirinkimo sandoris, kurio dabartinė rinkos kaina yra 100 USD. „At-the-money“ (ATM) pasirinkimo kaina yra 100 USD, kai galiojimo laikas baigiasi vienerius metus. Yra du prekybininkai, Peteris ir Paula, kurie abu sutinka, kad akcijų kaina per metus padidės iki 110 USD arba sumažės iki 90 USD.

Jie susitaria dėl numatomo kainų lygio per nustatytą vienerių metų laikotarpį, tačiau nesutaria dėl padidėjimo ar žemėjimo tikimybės. Peteris mano, kad tikimybė, kad akcijų kursas pakils iki 110 USD, yra 60%, o Paula tiki, kad ji yra 40%.

Remiantis tuo, kas norėtų mokėti daugiau kainos už pirkimo pasirinkimo sandorį? Galbūt Petras, nes jis tikisi didelės judėjimo aukštyn tikimybės.

„Binominal“ parinkčių skaičiavimai

Du turtai, nuo kurių priklauso vertinimas, yra pirkimo pasirinkimo sandoris ir bazinės atsargos. Dalyviai susitarė, kad pagrindinė akcijų kaina per metus gali pakisti nuo 100 USD iki 110 USD arba 90 USD, o kitų kainų pokyčių nėra.

Pasaulyje, kuriame nėra arbitražo, jei turite sukurti šių dviejų aktyvų, pirkimo pasirinkimo sandorio ir bazinių akcijų portfelį, kad nepriklausomai nuo to, kur eina pagrindinė kaina - 110 USD arba 90 USD -, grynoji portfelio grąža visada išlieka ta pati.. Tarkime, kad, norėdami sukurti šį portfelį, perkate „d“ pagrindinių ir trumpalaikių vieno pasirinkimo sandorių akcijas.

Jei kaina bus 110 USD, jūsų akcijos bus vertos 110 USD * d, o jūs prarasite 10 USD dėl trumpo skambučio išmokėjimo. Grynoji jūsų portfelio vertė bus (110d - 10).

Jei kaina nukris iki 90 USD, jūsų akcijų vertė bus 90 USD * d, o pasirinkimo sandoris neteks galios. Grynoji jūsų portfelio vertė bus (90d).

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} h (d) - m = l (d) \\ kur: \\ h = Didžiausia galima pagrindinė kaina \\ d = Pagrindinių akcijų skaičius \\ m = Pinigai, prarasti dėl trumpo skambučio išmokėjimo \\ l = Mažiausia potenciali pagrindinė kaina \end{matrix} \ pradėti {suderinta} & h (d) - m = l (d) \ & \ textbf {kur:} \ & h = \ tekstas {Didžiausia galima pagrindinė kaina} \ & d = \ tekstas {Pagrindinių akcijų skaičius} \ & m = \ tekstas {Pinigai, prarasti dėl trumpo skambučio išmokėjimo} \ & l = \ tekstas {Mažiausia galima pagrindinė kaina} \ \ pabaiga {suderinta}$ H (d) −m = l (d), kur: h = didžiausia galima pagrindinė kaina = pagrindinių akcijų skaičius m = pinigai, prarasti dėl trumpo skambučio išmokėjimo = žemiausia galima pagrindinė kaina

Taigi, jei perkate pusę akcijos, darant prielaidą, kad bus galima įsigyti dalimis, jums pavyks sukurti portfelį taip, kad per nurodytą vienerių metų laikotarpį jo vertė išliktų ta pati.

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} 110 d - 10 = 90 d \\ d = \frac{1}{2} \end{matrix} \ pradėti {suderinta} ir 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \ \ pabaiga {suderinta}$ 110d – 10 = 90dd = 21

Ši portfelio vertė, pažymėta (90d) arba (110d - 10) = 45, yra vieneri metai žemiau linijos. Norint apskaičiuoti dabartinę vertę, ją galima diskontuoti pagal nerizikingą grąžos normą (darant prielaidą, kad 5%).

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} Dabartinė vertė & = 90 d \times e^{(- 5 % \times 1 Metai)} \\ = 45 \times 0.9523 \\ = 42.85 \end{matrix} \ pradėti {suderintas} tekstas {dabartinė vertė} & = 90d \ kartų e ^ {(-5 \% \ kartų 1 \ tekstas {metai})} \ & = 45 \ kartų 0, 9523 \\ & = 42, 85 \\ \ pabaiga {suderinta}$ Dabartinė vertė = 90d × e (−5% × 1 metai) = 45 × 0, 9523 = 42, 85

Kadangi šiuo metu portfelį sudaro ½ bazinių akcijų dalies (kai rinkos kaina yra 100 USD) ir vieno trumpo pirkimo, jis turėtų būti lygus dabartinei vertei.

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} \frac{1}{2} \times 100 - 1 \times Skambučio kaina = Dolerių 42.85 \\ Skambučio kaina = Dolerių 7.14, ty skambučio kaina šiandien \end{matrix} \ pradėti {suderinta} ir \ frac {1} {2} kartų 100 - 1 \ kartų \ tekstas {Skambučio kaina} = \ 422, 85 $ \\ & \ tekstas {Skambučio kaina} = \ 7, 14 USD \ tekstas {, ty skambučio kaina šiandienos} \ \ pabaiga {suderinta}$ 21 × 100−1 × skambučio kaina = 42, 85 USDSkambučio kaina = 7, 14 USD, ty skambučio kaina šiandien

Kadangi tai grindžiama prielaida, kad portfelio vertė išlieka ta pati, neatsižvelgiant į tai, kokiu keliu bazinė kaina eina, padidėjimo ar žemėjimo tikimybė neturi jokios reikšmės. Portfelis išlieka nerizikingas, nepaisant pagrindinių kainų pokyčių.

Abiem atvejais (manoma, kad padidės iki 110 USD, o žemyn - iki 90 USD), jūsų portfelis yra neutralus rizikos atžvilgiu ir uždirba nerizikingą grąžos normą.

Taigi abu prekybininkai, Peteris ir Paula, būtų pasirengę mokėti tą pačią 7, 14 USD už šią pirkimo pasirinkimo galimybę, nepaisant skirtingo suvokimo apie kilimo tikimybę (60% ir 40%). Jų individualiai suvokiamos tikimybės neturi reikšmės vertinant pasirinkimą.

Darant prielaidą, kad svarbu individualios tikimybės, galėjo atsirasti arbitražo galimybės. Realiame pasaulyje tokios arbitražo galimybės egzistuoja su nedideliais kainų skirtumais ir per trumpą laiką išnyksta.

Bet kur yra visų šių skaičiavimų labai padidėjęs nepastovumas, svarbus ir jautrus veiksnys, turintis įtakos pasirinkimo sandorių kainodarai?

Į nepastovumą jau įtrauktas problemos apibrėžimo pobūdis. Darant prielaidą, kad yra dvi (ir tik dvi - taigi pavadinimas „dvinaris“) kainų lygio būsenos (110 USD ir 90 USD), kintamumas yra numanomas šioje prielaidoje ir įtraukiamas automatiškai (10% bet kokiu atveju šiame pavyzdyje).

Juodieji-Scholes

Tačiau ar šis požiūris yra teisingas ir suderinamas su dažniausiai naudojama „Black-Scholes“ kainodara? Parinkčių skaičiuoklės rezultatai (sutinkamai su OIC) tiksliai atitinka apskaičiuotą vertę:

Deja, realusis pasaulis nėra toks paprastas, kaip „tik dvi valstybės“. Akcijos gali pasiekti kelis kainų lygius iki laiko pabaigos.

Ar įmanoma visus šiuos kelis lygius įtraukti į binominį kainų nustatymo modelį, kuris ribojamas tik dviem lygiais? Taip, tai labai įmanoma, tačiau norint tai suprasti, reikia šiek tiek paprastos matematikos.

Paprasta matematika

Norėdami apibendrinti šią problemą ir jos sprendimą:

„X“ yra dabartinė akcijų rinkos kaina, o „X * u“ ir „X * d“ yra būsimos kainos „t“ aukštyn ir žemyn judantis metais vėliau. „U“ koeficientas bus didesnis nei vienas, nes tai rodo judesį aukštyn, o „d“ bus tarp nulio ir vieno. Aukščiau pateiktame pavyzdyje u = 1, 1 ir d = 0, 9.

Pirkimo pasirinkimo sandorio išmokos yra „P _up “ ir „P _dn “, jei norite pasibaigti.

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} VUM = s \times X \times u - P_{aukštyn} \\ kur: \\ VUM = Portfelio vertė kilus aukštyn \end{matrix} \ pradėti {suderinta} & \ tekstas {VUM} = s \ kartų X \ kartų u - P_ \ tekstas {aukščiau} \ & \ textbf {kur:} \ & \ tekstas {VUM} = \ tekstas {Portfelio vertė jei judėsite aukštyn} \ \ pabaiga {suderinta}$ VUM = s × X × u – Pup, kur: VUM = portfelio vertė kilus aukštyn

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} VDM = s \times X \times d - P_{žemyn} \\ kur: \\ VDM = Portfelio vertė mažėjančio žingsnio atveju \end{matrix} \ pradėti {suderinta} & \ tekstas {VDM} = s \ kartų X \ kartų d - P_ \ tekstas {žemyn} \ & \ textbf {kur:} \ & \ tekstas {VDM} = \ tekstas {Portfelio vertė jei juda žemyn} \ \ pabaiga {suderinta}$ VDM = s × X × d – Pdown, kur: VDM = portfelio vertė, kai mažėja

Dėl panašaus įvertinimo bet kuriuo kainos pokyčio atveju:

Visiem, kas noklusina, tacu $s \times X \times u - P_{aukštyn} = s \times X \times d - P_{žemyn} s \ kartų X \ kartų u - P_ \ tekstas {aukščiau} = s \ kartų X \ kartų d - P_ \ tekstas {žemyn}$ s × X × u – Pup = s × X × d – Pdown

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} s & = \frac{P_{aukštyn} - P_{žemyn}}{X \times (u - d)} \\ = Akcijų, kurias reikia įsigyti, skaičius \\ nerizikingas portfelis \end{matrix} \ pradėti {suderinta} s & = \ frac {P_ \ tekstas {aukštyn} - P_ \ tekstas {žemyn}} {X \ kartų (u - d)} \ & = \ tekstas {akcijų skaičius, kurį reikia įsigyti} \ & \ fantomas {=} tekstas {nerizikingas portfelis} \ \ pabaiga {suderinta}$ s = X × (u − d) Pup − Down - akcijų, kurias reikia įsigyti = nerizikingas portfelis, skaičius

Būsimoji portfelio vertė „t“ metų pabaigoje bus:

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} Judėjimo aukštyn atveju & = s \times X \times u - P_{aukštyn} \\ = \frac{P_{aukštyn} - P_{žemyn}}{u - d} \times u - P_{aukštyn} \end{matrix} \ pradėti {suderinti} tekstas {Perkeliant aukštyn} ir = s \ kartų X \ kartų u - P_ \ tekstas {aukštyn} \ & = \ frakas {P_ \ tekstas {aukštyn} - P_ \ tekstas {žemyn} } {u - d} kartų u - P_ \ tekstas {aukštyn} \ \ pabaiga {suderinta}$ Aukštyn judėjimas = s × X × u − Pup = u − dPup −Pdown × u − Pup

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} Judėjimo žemyn atveju & = s \times X \times d - P_{žemyn} \\ = \frac{P_{aukštyn} - P_{žemyn}}{u - d} \times d - P_{žemyn} \end{matrix} \ pradėti {suderinta} tekstas {Perkeliant žemyn} & = s \ kartų X \ kartų d - P_ \ tekstas {žemyn} \ & = \ frakas {P_ \ tekstas {aukštyn} - P_ \ tekstas {žemyn} } {u - d} kartų d - P_ \ tekstas {žemyn} \ \ pabaiga {suderinta}$ Judėjimo žemyn atveju = s × X × d – Pdown = u – dPup –– Down · d – Pdown

Dabartinę vertę galima gauti diskontuojant ją su nerizikinga grąžos norma:

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} PV = e (- r t) \times \\ kur: \\ PV = Dabartinės dienos vertė \\ r = Grąžos norma \\ t = Laikas, metais \end{matrix} \ pradėti {suderinta} & \ tekstas {PV} = e (-rt) kartų \ kairė \\ & \ textbf {kur:} \ & \ tekstas {PV} = \ tekstas {Dabartinės dienos vertė} \ & r = \ tekstas {Grąžos norma} \ & t = \ tekstas {Laikas, metais} \ \ pabaiga {suderinta}$ PV = e (−rt) × kur: PV = dabartinės dienos vertės koeficientas = sugrįžtančių asmenų skaičius = laikas, metais

Tai turėtų atitikti „s“ akcijų portfelio turėjimą X kaina, o trumpojo skambučio vertė „c“ (dabartinis (s * X - c) turėjimas turėtų prilygti šiam skaičiavimui.) „C“ sprendimas pagaliau suteikia kaip:

Pastaba: jei skambučio įmoka trumpinama, tai turėtų būti portfelio papildymas, o ne atimtis.

Visiem, kas noklusina, tacu $c = \frac{e (- r t)}{u - d} \times c = \ frac {e (-rt)} {u - d} kartų$ c = u − de (−rt) ×

Kitas būdas lygtį užrašyti yra ją pertvarkant:

Paimkite „q“ kaip:

Visiem, kas noklusina, tacu $q = \frac{e (- r t) - d}{u - d} q = \ frakas {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u − de (−rt) −d

Tada lygtis tampa:

Visiem, kas noklusina, tacu $c = e (- r t) \times (q \times P_{aukštyn} + (1 - q) \times P_{žemyn}) c = e (-rt) kartų (q \ kartų P_ \ tekstas {aukštyn} + (1 - q) kartų P_ \ tekstas {žemyn})$ c = e (−rt) × (q × mažylis + (1 − q) × sumažėjimas)

Lygties pertvarkymas pagal „q“ suteikė naują perspektyvą.

Dabar „q“ galite suprasti kaip pagrindinės priemonės judėjimo aukštyn tikimybę (nes „q“ yra susijęs su „P _up“ ir „1-q“ yra susijęs su P _dn). Apskritai, lygtis parodo dabartinės dienos pasirinkimo kainą, diskontuotą jos išmokėjimo vertę pasibaigus jo galiojimo laikui.

Šis „Q“ yra skirtingas

Kuo ši „q“ tikimybė skiriasi nuo pagrindinės priemonės judėjimo aukštyn arba žemyn tikimybės?

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} VSP = q \times X \times u + (1 - q) \times X \times d \\ kur: \\ VSP = Akcijų kainos vertė tuo metu t \end{matrix} \ pradėti {suderinta} & \ tekstas {VSP} = q \ kartų X \ kartų u + (1 - q) kartų X \ kartų d \\ & \ textbf {kur:} \ & \ tekstas {VSP} = \ tekstas {Akcijos kainos vertė tuo metu} t \\ \ pabaiga {suderinta}$ VSP = q × X × u + (1 − q) × X × d kur: VSP = akcijų kainos vertė t metu

Pakeitus „q“ reikšmę ir pertvarkius, akcijų kaina „t“ metu yra:

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} Akcijos kaina = e (r t) \times X \end{matrix} \ pradėti {suderinta} ir \ tekstas {akcijų kaina} = e (rt) kartų X \\ \ pabaiga {suderinta}$ Akcijų kaina = e (rt) × X

Šiame numanomame dviejų valstybių pasaulyje akcijų kaina paprasčiausiai kyla pagal nerizikingą grąžos normą, lygiai taip pat kaip ir nerizikingą turtą, todėl ji išlieka nepriklausoma nuo jokios rizikos. Investuotojai yra neabejingi rizikai pagal šį modelį, taigi tai sudaro rizikai neutralų modelį.

Tikimybė „q“ ir „(1-q)“ yra žinomos kaip rizikos atžvilgiu neutralios tikimybės, o vertinimo metodas yra žinomas kaip rizikos neutralus vertinimo modelis.

Pavyzdiniame scenarijuje yra vienas svarbus reikalavimas - būsimos išmokos struktūra reikalinga tiksliai (110 ir 90 USD lygis). Realiame gyvenime toks aiškumas apie žingsniais pagrįstą kainų lygį yra neįmanomas; kaina greičiau juda atsitiktine tvarka ir gali atsiskaityti keliais lygiais.

Norėdami dar labiau išplėsti pavyzdį, tarkime, kad galimi dviejų pakopų kainų lygiai. Mes žinome antrojo etapo galutinius pelnus ir turime įvertinti variantą šiandien (pradiniame etape):

Tarpinis pirmo žingsnio vertinimas (t = 1) gali būti atliktas naudojant galutinius išmokėjimus antrame etape (t = 2), tada naudojant šiuos apskaičiuotus pirmojo žingsnio įvertinimus (t = 1), šios dienos vertinimas (t = 0) galima pasiekti atlikus šiuos skaičiavimus.

Norint gauti opciono kainodarą antruoju numeriu, naudojami keturi ir penki išmokėjimai. Norėdami gauti kainą trečiajam numeriui, naudojami penki ir šeši išmokėjimai. Galiausiai, norint apskaičiuoti kainą Nr. 1, naudojami apskaičiuoti dviejų ir trijų išmokų dydžiai.

Atminkite, kad šiame pavyzdyje daromas vienodas veiksmas judant aukštyn (ir žemyn) abiem žingsniais - u ir d yra taikomi sudėtingai.

Darbinis pavyzdys

Tarkime, kad pardavimo pasirinkimo sandoris, kurio pradinė kaina yra 110 USD, šiuo metu prekiauja 100 USD ir baigiasi vieneriais metais. Metinė nerizikinga norma yra 5%. Tikimasi, kad kaina padidės 20%, o kas šešis mėnesius - 15%.

Čia u = 1, 2 ir d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

naudojant aukščiau išvestą formulę:

Visiem, kas noklusina, tacu $q = \frac{e (- r t) - d}{u - d} q = \ frakas {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u − de (−rt) −d

gauname q = 0, 35802832

pardavimo pasirinkimo sandorio vertė 2 punkte, Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} p_{2} = e (- r t) \times (p \times P_{aukštyn} + (1 - q) P_{updn}) \\ kur: \\ p = Pardavimo pasirinkimo sandorio kaina \end{matrix} \ pradėti {suderinta} & p_2 = e (-rt) kartų (p \ kartų P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \ & \ textbf {kur:} \ & p = \ tekstas {pardavimo pasirinkimo sandorio kaina} \ \ pabaiga {suderinta}$ P2 = e (−rt) × (p × aukcionas + (1 − q) Pupdn), kur: p = pardavimo pasirinkimo sandorio kaina

Esant „P _upup“ sąlygai, pagrindinė vertė bus = 100 * 1, 2 * 1, 2 = 144 USD, todėl P _upup = nulis

Esant P _atnaujinimo sąlygai, pagrindinė vertė bus = 100 * 1, 2 * 0, 85 = 102 USD, todėl P _updn = 8 USD.

Esant P _dndn sąlygai, bazinė vertė bus = 100 * 0, 85 * 0, 85 = _{72, 25} USD, todėl P _dndn = _{37, 75} USD

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

Panašiai, p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924

Visiem, kas noklusina, tacu $p_{1} = e (- r t) \times (q \times p_{2} + (1 - q) p_{3}) p_1 = e (-rt) kartų (q \ kartų p_2 + (1 - q) p_3)$ p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3)

Taigi pardavimo pasirinkimo sandorio vertė, p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 35802832) * 26, 42958924) = 18, 29 USD.

Panašiai, dvinariai modeliai leidžia pertraukti visą parinkties trukmę, kad būtų dar labiau patikslinti keli žingsniai ir lygiai. Naudodamiesi kompiuterinėmis programomis ar skaičiuoklėmis, galite žingsnį atgal atsukti atgal, kad gautumėte dabartinę norimos parinkties vertę.

Kitas pavyzdys

Tarkime, kad europinio tipo pasirinkimo sandoris baigsis devyniems mėnesiams, kurio pradinė kaina yra 12 USD, o dabartinė bazinė kaina yra 10 USD. Tarkime, kad nerizikinga yra 5% norma visais laikotarpiais. Tarkime, kas tris mėnesius pagrindinė kaina gali judėti 20% aukštyn arba žemyn, suteikiant mums u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 ir trijų pakopų dvinarį medį.

Raudona rodo pagrindines kainas, o mėlyna - pardavimo pasirinkimo sandorių išmokėjimą.

Rizikos atžvilgiu neutrali tikimybė „q“ apskaičiuojama iki 0, 531446.

Naudojant aukščiau nurodytą „q“ vertę ir išmokėjimo vertes, kai t = devyni mėnesiai, atitinkamos vertės, kai t = šeši mėnesiai, apskaičiuojamos taip:

Be to, naudojant šias apskaičiuotas vertes, kai t = 6, t = 3, tada t = 0 vertės yra:

Tai reiškia, kad dabartinė pardavimo pasirinkimo sandorio vertė yra 2, 18 USD, beveik tokia pati, kaip ir skaičiavimams naudojant „Black-Scholes“ modelį (2, 30 USD).

Esmė

Nors kompiuterinių programų naudojimas gali palengvinti šiuos intensyvius skaičiavimus, būsimų kainų numatymas išlieka pagrindiniu binominių modelių, susijusių su opcionų kainodara, apribojimu. Kuo tikslesni laiko intervalai, tuo sunkiau yra tiksliai prognozuoti išmokas kiekvieno laikotarpio pabaigoje.

Tačiau lankstumas įtraukti pokyčius, kurių tikimasi skirtingais laikotarpiais, yra pliusas, todėl jis tinkamas amerikiečių opcionų kainai nustatyti, įskaitant išankstinį vertinimą.

Vertės, apskaičiuotos naudojant binominį modelį, labai atitinka tas, kurios apskaičiuojamos iš kitų dažniausiai naudojamų modelių, tokių kaip „Black-Scholes“, o tai rodo binominių modelių naudingumą ir tikslumą nustatant opcionus. Binominiai kainų nustatymo modeliai gali būti sukurti pagal prekybininko pageidavimus ir gali veikti kaip alternatyva „Black-Scholes“.

Turinys: